Quantos tipos de ângulos poliédricos convexos podemos formar:
com todas as faces iguais a
;
com todas as faces iguais a
Passo 1
O enunciado pergunta quantos ângulos poliédricos convexos existem em que cada face, vista no vértice, forma um ângulo de
. Ou seja, queremos construir um “cone” de
planos que se encontram num vértice, de modo que cada ângulo plano (face) valha
, e o conjunto seja convexo.
Passo 2
Em qualquer ângulo poliédrico convexo, a soma dos ângulos planos que o geram (vistos no vértice) deve ser estritamente menor que
, para não ficarmos “completando” uma volta inteira nem abrirmos um recorte não convexo.
Passo 3
Se cada um dos
ângulos planos vale
, a condição de convexidade impõe
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Como
é o número de faces e deve ser inteiro e pelo menos
para formar um ângulo poliédrico (duas faces apenas dariam um “ângulo plano”), concluímos
Ou seja, só cabe um ângulo triédrico em que cada face plana forma
.
Resposta
Existe exatamente um tipo: o ângulo triédrico reto (três faces, cada uma de
).