Quantos tipos de ângulos poliédricos convexos podemos formar:
com todas as faces iguais a 90^circ;

Passo 1

O enunciado pergunta quantos ângulos poliédricos convexos existem em que cada face, vista no vértice, forma um ângulo de 90^circ. Ou seja, queremos construir um “cone” de f planos que se encontram num vértice, de modo que cada ângulo plano (face) valha 90^circ, e o conjunto seja convexo.

Passo 2

Em qualquer ângulo poliédrico convexo, a soma dos ângulos planos que o geram (vistos no vértice) deve ser estritamente menor que 360^circ, para não ficarmos “completando” uma volta inteira nem abrirmos um recorte não convexo.

Passo 3

Se cada um dos f ângulos planos vale 90^circ, a condição de convexidade impõe
f times 90^circ < 360^circ
Dividindo ambos os lados por 90^circ, obtemos
f < 4

Passo 4

Como f é o número de faces e deve ser inteiro e pelo menos 3 para formar um ângulo poliédrico (duas faces apenas dariam um “ângulo plano”), concluímos
f=3
Ou seja, só cabe um ângulo triédrico em que cada face plana forma 90^circ.

Resposta

Existe exatamente um tipo: o ângulo triédrico reto (três faces, cada uma de 90^circ).

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