Os raios das bases de um tronco de cone de revolução medem 6 m e 4 m . Calcule a altura para que a área total seja o dobro da área lateral.

Passo 1

O enunciado trata de um tronco de cone de revolução cujos raios das bases maior e menor são, respectivamente, ;R=6;m e ;r=4;m. Precisamos encontrar a altura ;h de modo que a área total seja o dobro da área lateral. Vamos usar as fórmulas:
– Área lateral:
L = pi,(R + r),s,
onde s é a geratriz (slant height).
– Área total:
Atotal = L + pil(R^2 + r^2r)

Passo 2

A condição “área total é o dobro da área lateral” pode ser escrita como
Atotal = 2L Longrightarrow L + pil(R^2 + r^2r) = 2L Longrightarrow pil(R^2 + r^2r) = L
Substituindo L = pi,(R + r),s, obtemos
pil(R^2 + r^2r) = pi,(R + r),s Longrightarrow R^2 + r^2 = (R + r),s

Passo 3

A geratriz s satisfaz
s = raiz(R - r)^2 + h^2
Substituindo R=6 e r=4 em
R^2 + r^2 = (R + r),raiz(R - r)^2 + h^2
temos
6^2 + 4^2 = (6 + 4),raiz(6 - 4)^2 + h^2 Longrightarrow 36 + 16 = 10,raiz4 + h^2 Longrightarrow 52 = 10,raiz4 + h^2
Dividindo por 10,
raiz4 + h^2 = 5,2

Passo 4

Elevando ao quadrado para isolar h:
4 + h^2 = (5,2)^2 = 27,04 Longrightarrow h^2 = 27,04 - 4 = 23,04 Longrightarrow h = raiz23,04 = 4,8;m

Resposta

A altura do tronco de cone deve ser h = 4,8 metros.

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