Dadas as medidas B, B ', h das áreas das bases e da altura, respectivamente, de um tronco de pirâmide, determine a altura da pirâmide da qual se obteve o tronco.

Passo 1

O enunciado dá as áreas da base maior B, da base menor B' e a altura do tronco de pirâmide h. Queremos achar a altura total H da pirâmide original. O conteúdo principal aqui é o uso de semelhança de secções transversais paralelas à base, lembrando que a razão entre comprimentos escala como a raiz quadrada da razão entre áreas.

Passo 2

Sejam ell e ell' as arestas correspondentes às bases de áreas B e B'. Como área escala com o quadrado de um comprimento, temos
ell'ell ;=;raizB'B

Passo 3

Pela semelhança dos triângulos que vão do vértice até cada base, a razão entre arestas também é a razão entre as distâncias desse vértice aos planos das bases. Ou seja,
ell'ell ;=;H - hH

Passo 4

Igualando as duas expressões e resolvendo para H:
raizB'B ;=;H-hH Longrightarrow raizB',H = raizB,(H - h) Longrightarrow Hl(raizB - raizB'r) = raizB,h

Passo 5

Isolando H, obtemos
H = raizB,hraizB - raizB'

Resposta

H = raizB,hraizB - raizB'

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