Raízes. Obtenha e represente graficamente todos os valores de
\sqrt{8 i}

Passo 1

O enunciado pede as raízes quadradas de \,8\,i. O conteúdo aqui é raízes de números complexos, e vamos usar a forma polar de um número complexo e a fórmula geral das raízes n-ésimas.

Passo 2

Escrevemos 8\,i em forma polar. O módulo é
r = |8\,i| = 8
e o argumento principal é
\theta = \arg(8\,i) = \tfrac{\pi}{2}.
Assim,
8\,i = 8\,e^{i(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para achar as raízes quadradas ( n=2) usamos a fórmula
z_k = r^{1/2}\,e^{i\bigl(\tfrac{\theta + 2\pi k}{2}\bigr)},\quad k=0,1.
Aqui r^{1/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Calculamos os dois valores:
  • Para k=0:
z_0 = 2\sqrt{2}\,e^{i(\tfrac{\pi/2}{2})} = 2\sqrt{2}\,e^{i\tfrac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 2+2\,i.
  • Para k=1:
z_1 = 2\sqrt{2}\,e^{i\bigl(\tfrac{\pi/2+2\pi}{2}\bigr)} = 2\sqrt{2}\,e^{i\tfrac{5\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{4}+i\sin\tfrac{5\pi}{4}\bigr) = -2-2\,i.

Passo 5

Na forma cartesiana, as raízes são os pontos (2,2) e (-2,-2) no plano de Argand, ambos a uma distância 2\sqrt{2} da origem e situados sobre a reta y=x, um no primeiro quadrante e outro no terceiro.

Resposta

As duas raízes de \sqrt{8\,i} são
2 + 2\,i \quad\text{e}\quad -2 - 2\,i.

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