Seja
o lugar geométrico de uma equação polinomial em
e
. Seja
o mínimo grau possível de uma equação para
em um dado sistema de coordenadas cartesianas. Mostre que
é um invariante geométrico. (Sugestão. Mostre que se (
) são novas coordenadas cartesianas, então uma equação
se transfórma numa equação
, onde o grau de
é no máximo igual ao grau de
. Agora reverta os papéis de
e
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um lugar geométrico
definido por uma equação polinomial em
, o menor grau possível
de tal polinômio não depende do sistema de coordenadas cartesianas adotado. Em outras palavras, se mudarmos para novas coordenadas cartesianas
, o grau mínimo de uma equação para
permanece o mesmo. Vamos usar composição de polinômios sob mudança de variáveis afim e comparar graus.
Passo 2
Seja
uma equação de grau mínimo
que define
no sistema
. Considere uma mudança de coordenadas afim invertível
com
. Definimos então
Como cada monômio
em
é substituído por
, a soma dos expoentes não aumenta:
Além disso, a equação
define exatamente o mesmo lugar
no sistema
. Logo o grau mínimo
em
satisfaz
Passo 3
Agora invertemos os papéis das coordenadas. Seja
uma equação de grau mínimo
que define
em
. Aplicando o inverso da transformação afim, obtemos um polinômio
com
e que define
em
. Portanto o grau mínimo
em
satisfaz
Resposta
Pelas desigualdades
e
segue
. Assim o grau mínimo
de uma equação que define
é invariante geométrica, ou seja, independe do sistema de coordenadas cartesianas.