Seja T o lugar geométrico de uma equação polinomial em x e y. Seja d o mínimo grau possível de uma equação para T em um dado sistema de coordenadas cartesianas. Mostre que d é um invariante geométrico. (Sugestão. Mostre que se ( x^prime, y^prime ) são novas coordenadas cartesianas, então uma equação p(x, y)=0 se transfórma numa equação q(x^prime, y^prime)=0, onde o grau de q é no máximo igual ao grau de p. Agora reverta os papéis de (x, y) e (x^prime, y^prime).)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um lugar geométrico T definido por uma equação polinomial em (x,y), o menor grau possível d de tal polinômio não depende do sistema de coordenadas cartesianas adotado. Em outras palavras, se mudarmos para novas coordenadas cartesianas (x',y'), o grau mínimo de uma equação para T permanece o mesmo. Vamos usar composição de polinômios sob mudança de variáveis afim e comparar graus.

Passo 2

Seja
p(x,y)=0
uma equação de grau mínimo d que define T no sistema (x,y). Considere uma mudança de coordenadas afim invertível
x = a,x' + b,y' + c, y = a',x' + b',y' + c',
com a b' - a' b neq 0. Definimos então
q(x',y') ;=; pl(a,x' + b,y' + c,;a',x' + b',y' + c'r)
Como cada monômio x^i y^j em p é substituído por (forma linear em x',y')^i(forma linear em x',y')^j, a soma dos expoentes não aumenta:
deg q ;<=;deg p ;=; d
Além disso, a equação q(x',y')=0 define exatamente o mesmo lugar T no sistema (x',y'). Logo o grau mínimo d' em (x',y') satisfaz
d' ;<=; d

Passo 3

Agora invertemos os papéis das coordenadas. Seja
q(x',y')=0
uma equação de grau mínimo d' que define T em (x',y'). Aplicando o inverso da transformação afim, obtemos um polinômio
tilde p(x,y) = ql(a'',x + b'',y + c'',;a''',x + b''',y + c'''r)
com deg tilde p <= d' e que define T em (x,y). Portanto o grau mínimo d em (x,y) satisfaz
d ;<=; d'

Resposta

Pelas desigualdades d'<= d e d<= d' segue d'=d. Assim o grau mínimo d de uma equação que define T é invariante geométrica, ou seja, independe do sistema de coordenadas cartesianas.

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