Reduza à forma comum por uma translação de eixos e trace o gráfico:
3 x^2+3 y^2-6 x+12 y-16=0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de segundo grau
3x^2+3y^2-6x+12y-16=0,
cujo termo em x^2 e y^2 têm coeficientes iguais e não há termo misto xy. Isso indica que se trata de um círculo. Para reduzir à forma comum (canonical) faremos uma translação de eixos, completando quadrados em x e em y.

Passo 2

Agrupamos termos semelhantes e colocamos fator 3 em evidência nos quadrados:
3x^2-6x ;+;3y^2+12y ;-;16 ;=;0 Longrightarrow 3l(x^2-2xr) ;+;3l(y^2+4yr);-;16;=;0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada parêntese:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2+4y = (y+2)^2-4
Substituindo na equação:
3l((x-1)^2-1r)+3l((y+2)^2-4r)-16=0
3(x-1)^2-3 +3(y+2)^2-12 -16=0
3(x-1)^2+3(y+2)^2-31=0
3(x-1)^2+3(y+2)^2=31

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 3, obtemos a forma canônica do círculo:
(x-1)^2+(y+2)^2=313
Dessa forma, o centro é l(1,-2r) e o raio é
r = raiz313

Passo 5

Para traçar o gráfico, marcamos no plano o ponto C(1,-2) como centro e desenhamos a circunferência de raio raiz31/3approx3,21. O resultado é um círculo centrado em (1,-2) com esse raio.

Resposta

A equação reduzida é
(x-1)^2+(y+2)^2=313,
centro (1,-2) e raio raiz31/3. O gráfico é o círculo com essas características.

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