Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma equação em
e uma mudança de coordenadas
Queremos descobrir qual é a característica especial do gráfico dessa equação caso ela seja invariante sob essa transformação.
Passo 2
Uma equação
é invariante por essa translação se, ao substituir
por
e
por
, ela retorna à mesma forma. Em outras palavras, sempre que
então também vale
Isso implica que a função
satisfaz
ou seja, é periódica em
com período
.
Passo 3
Do ponto de vista do gráfico, essa periodicidade significa que, ao deslocar qualquer ponto do gráfico horizontalmente em
(para a direita ou para a esquerda), ele permanece no próprio gráfico. Logo, o desenho se repete infinitamente ao longo do eixo
, formando “tiras” idênticas de largura
.
Resposta
O gráfico é periódico na direção horizontal, com período
; isto é, apresenta simetria por translação de
ao longo do eixo
.