Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=x^prime+2 pi, y=y^prime

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma equação em x,y e uma mudança de coordenadas
x = x' + 2pi, y = y'
Queremos descobrir qual é a característica especial do gráfico dessa equação caso ela seja invariante sob essa transformação.

Passo 2

Uma equação f(x,y)=0 é invariante por essa translação se, ao substituir x por x'+2pi e y por y', ela retorna à mesma forma. Em outras palavras, sempre que
f(x,y)=0
então também vale
f(x+2pi,y)=0
Isso implica que a função f satisfaz
f(x+2pi,y)=f(x,y),
ou seja, é periódica em x com período 2pi.

Passo 3

Do ponto de vista do gráfico, essa periodicidade significa que, ao deslocar qualquer ponto do gráfico horizontalmente em 2pi (para a direita ou para a esquerda), ele permanece no próprio gráfico. Logo, o desenho se repete infinitamente ao longo do eixo x, formando “tiras” idênticas de largura 2pi.

Resposta

O gráfico é periódico na direção horizontal, com período 2pi; isto é, apresenta simetria por translação de 2pi ao longo do eixo x.

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