Reescreva as expressões trigonométricas abaixo como expressões algébricas.
tan (arcsen(x)-arctan (2))

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
tanl(arcsen(x)-arctan(2)r)
como uma expressão algébrica em x.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da tangente da diferença de arcos e a relação entre seno, cosseno e tangente de ângulos dados por arcosenos e arctangentes.

Passo 2

A identidade fundamental é
tan(A - B) ;=;tan A - tan B1 + tan A,tan B
Aqui tomamos A = arcsen(x) e B = arctan(2).

Passo 3

Precisamos de tan A e tan B.
Como A=arcsen(x), temos sen A = x e, no intervalo principal de arcsen, cos A = raiz1 - x^2. Logo
tan A = sen Acos A = xraiz1 - x^2
E como B=arctan(2), simplesmente
tan B = 2

Passo 4

Substituindo na fórmula da tangente da diferença, obtemos
tanl(arcsen(x)-arctan(2)r) = xraiz1 - x^2 - 2 1 + 2;xraiz1 - x^2 =x - 2raiz1 - x^2raiz1 - x^2 + 2x,
onde multiplicamos numerador e denominador por raiz1 - x^2 para agrupar em forma algébrica.

Passo 5

Para eliminar a raiz do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raiz1 - x^2 - 2x:
x - 2raiz1 - x^2raiz1 - x^2 + 2x ;times; raiz1 - x^2 - 2xraiz1 - x^2 - 2x = 5,x,raiz1 - x^2 - 2,1 - 5,x^2,

Resposta

tanl(arcsen(x)-arctan(2)r) = 5,x,raiz1 - x^2 - 21 - 5,x^2

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