Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
tan (x)=34

Passo 1

O enunciado diz que tan(x)=34 e que 0<= x<= pi2.
Precisamos encontrar sin(2x), cos(2x) e tan(2x).
Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo juntamente com a relação trigonométrica em triângulo retângulo para obter sin(x) e cos(x).

Passo 2

Como tan(x)=sin(x)cos(x)=34, montamos um triângulo retângulo onde o cateto oposto a x vale 3, o cateto adjacente vale 4 e a hipotenusa é raiz3^2+4^2=5.
Logo,
sin(x)=35,
cos(x)=45

Passo 3

Aplicamos a fórmula de ângulo duplo para o seno:
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
Substituindo os valores encontrados:
sin(2x)=2cdot35cdot45=2425

Passo 4

Para o cosseno usamos a identidade:
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)
Logo,
cos(2x)=(45)^2-(35)^2=1625-925=725

Passo 5

A tangente do ângulo duplo pode ser obtida dividindo o seno pelo cosseno:
tan(2x)=sin(2x)cos(2x)=2425725=247

Resposta

sin(2x)=2425
cos(2x)=725
tan(2x)=247

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