Resolva as equações abaixo supondo que -pi<x <= pi.
3 sen(x)+cos (x)=raiz2

Passo 1

O enunciado pede para resolver
3sen(x)+cos(x)=raiz2
no intervalo -pi<x<=pi.
O conteúdo aqui é a técnica de escrever a combinação asen x + bcos x na forma Rsen(x+varphi), encontrando depois as soluções de uma equação trigonométrica básica.

Passo 2

Vamos reescrever
3sen(x)+cos(x)
como
Rsen(x+varphi)=Rl(sen xcosvarphi+cos xsenvarphir)
Para isso igualamos coeficientes:
Rcosvarphi=3, Rsinvarphi=1

Passo 3

Calculamos R e varphi:
R=raiz3^2+1^2=raiz10, varphi=arctan!l(tfrac13r)
Assim a equação vira
raiz10,sen(x+varphi)=raiz2 Longrightarrow sen(x+varphi)=raiz2raiz10=1raiz5

Passo 4

As soluções gerais de sen y=1/raiz5 são
y=arcsin!l(tfrac1raiz5r)+2pi k ou y=pi-arcsin!l(tfrac1raiz5r)+2pi k
Aqui y=x+varphi.

Passo 5

Subtraindo varphi, obtemos
x=arcsin!l(tfrac1raiz5r)-varphi+2pi k ou x=pi-arcsin!l(tfrac1raiz5r)-varphi+2pi k

Passo 6

Note que
arcsin!l(tfrac1raiz5r)=arctan!l(tfrac12r)
e
varphi=arctan!l(tfrac13r).
Além disso
arctantfrac12+arctantfrac13 =arctan!l(tfrac12+tfrac131-tfrac16r) =arctan(1)=pi4
Logo
x1=arctantfrac12-arctantfrac13=arctantfrac17, x2=pi-l(arctantfrac12+arctantfrac13r) =pi-pi4=3pi4

Passo 7

Verificando o domínio -pi<x<=pi:
arctan!tfrac17approx0,142in(-pi,pi] e tfrac3pi4approx2,356in(-pi,pi].
Não há outras soluções no intervalo dado.

Resposta

x=arctan!l(tfrac17r) ou x=3pi4

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