REFRIGERAÇÃO Um bloco de gelo usado para refrigeração é modelado por um cubo de lado s. No momento, o bloco tem um volume de 125.000 \mathrm{~cm}^{3} e está derretendo à taxa de 1.000 \mathrm{~cm}^{3} por hora.
a. Qual é o comprimento s de um dos lados do cubo? Com que taxa esse comprimento s está variando no momento em relação ao tempo t ?
b. Qual é a atual taxa de variação da área S da superfície do bloco de gelo em relação ao tempo? [Nota: um cubo de lado s tem um volume V=s^{3} e a área da superfície é S=6 s^{2}.]

Passo 1

O enunciado modela um bloco de gelo por um cubo de lado s, com volume
V = s^3
e área de superfície
S = 6s^2.
No momento temos V=125000, \mathrm{cm}^3 e \dfrac{dV}{dt}=-1000, \mathrm{cm}^3/\mathrm{h}. Pede-se:
a. o valor de s e \dfrac{ds}{dt} nesse instante;
b. \dfrac{dS}{dt} nesse instante.

Passo 2

Para achar s, basta resolver
s^3 = 125000
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s = \sqrt[3]{125000} = 50\text{ cm}.

Passo 3

Derivando V=s^3 em relação a t
\frac{dV}{dt} = 3s^2\,\frac{ds}{dt}.
Isolando \dfrac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3s^2}\,\frac{dV}{dt} = \frac{-1000}{3\cdot50^2} = -\frac{1000}{7500} = -\frac{2}{15}\\ \text{cm/h}.

Passo 4

Derivando S=6s^2 em relação a t
\frac{dS}{dt} = 12\,s\,\frac{ds}{dt}.
Substituindo s=50,cm e \dfrac{ds}{dt}=-\tfrac{2}{15},cm/h:
\frac{dS}{dt} = 12\cdot50\cdot\Bigl(-\frac{2}{15}\Bigr) = -80\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{h}.

Resposta

a. s = 50,cm e \displaystyle \frac{ds}{dt} = -\frac{2}{15},cm/h.
b. \displaystyle \frac{dS}{dt} = -80,cm ^2/h.

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