Qual a relação entre limites laterais e limites? Como essa relação pode ser utilizada algumas vezes no cálculo de um limite ou na demonstração de que não existe limite? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre limites laterais e o limite usual de uma função em um ponto, e como essa relação pode ser usada tanto para calcular um limite quanto para mostrar que ele não existe. O conteúdo envolve a definição de limite de função e de limites laterais (pela esquerda e pela direita).

Passo 2

Definimos as duas quantidades principais:
\lim_{x\to x_0^-}f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de x_0 pela esquerda, e
\lim_{x\to x_0^+}f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de x_0 pela direita.

Passo 3

A propriedade central é
\lim_{x\to x_0}f(x)=L \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.
Ou seja, para existir o limite em x_0, ambos os limites laterais devem existir e ser iguais.

Passo 4

Para calcular um limite usando essa relação, basta achar as duas aproximações e verificar se coincidem. Por exemplo, considere
f(x)= \begin{cases} x^2, & x<1,\\\\ 2x-1, & x>1. \end{cases}
Então
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2=1
e
\lim_{x\to1^+}f(x)=2\cdot1-1=1.
Como os dois coincidem em 1, concluímos que \lim_{x\to1}f(x)=1.

Passo 5

Para mostrar que um limite não existe, basta verificar que os limites laterais são diferentes. Por exemplo,
f(x)=\frac{|x|}{x}
em x=0 tem
\lim_{x\to0^-}f(x)=-1
e
\lim_{x\to0^+}f(x)=1.
Como -1\neq1, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Resposta

A relação é
\lim_{x\to x_0}f(x)=L \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.
Usa-se essa equivalência para calcular limites de funções definidas por partes e para provar a não existência de limite quando as duas aproximações laterais não coincidem.

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