Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. .
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
e analisar suas propriedades topológicas: se é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar seu interior e sua fronteira. Vamos usar conceitos de topologia em : definição de aberto (vizinhança totalmente contida), fechado (complemento aberto), interior, fronteira, e também o critério de Heine–Borel para compacidade (conjunto é compacto em se e somente se for fechado e limitado).
Passo 2
Geometricamente, a condição define o semiplano estritamente abaixo da reta .
Isso significa que, no plano , traçamos a reta e sombreámos toda a região “abaixo” dela (quando é menor que ), sem incluir a própria reta.
Passo 3
Para ver que é aberto, note que a função
é contínua em e .
Como é aberto em , seu contraimagem é aberto em . Alternativamente, dado um ponto com , podemos escolher raio suficientemente pequeno para que em toda a bola de raio em torno de ainda valha . Logo, é aberto.
Passo 4
O complementar de é ,
que é o semiplano fechado acima da reta . Como é fechado, não é fechado. Concluímos: é aberto e não fechado.
Passo 5
Quanto à limitação, se estende indefinidamente para a esquerda, para baixo e para longe da reta, portanto não é limitado. Pelo critério de Heine–Borel, um conjunto compacto em deve ser fechado e limitado; falha em ambas, então não é compacto.
Passo 6
O interior de é justamente ele mesmo, já que é aberto:
A fecho de é
e a fronteira é partial S=Ssetminusint(S) =(x,y)mid x+y=1,
ou seja, exatamente a reta limite.
Resposta
Geometricamente, S é o semiplano aberto abaixo da reta x+y=1.
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: não.
Compacto: não.
Interior: (x,y)mid x+y<1
Fronteira: (x,y)mid x+y=1
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.d