Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x+y<1.

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid x+y<1
e analisar suas propriedades topológicas: se é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar seu interior e sua fronteira. Vamos usar conceitos de topologia em R^2: definição de aberto (vizinhança totalmente contida), fechado (complemento aberto), interior, fronteira, e também o critério de Heine–Borel para compacidade (conjunto é compacto em R^2 se e somente se for fechado e limitado).

Passo 2

Geometricamente, a condição x+y<1 define o semiplano estritamente abaixo da reta
Lcolon x+y=1.
Isso significa que, no plano xy, traçamos a reta L e sombreámos toda a região “abaixo” dela (quando x+y é menor que 1), sem incluir a própria reta.

Passo 3

Para ver que S é aberto, note que a função
f(x,y)=x+y
é contínua em R^2 e
S = f^-1l((- fty,1)r).
Como (- fty,1) é aberto em R, seu contraimagem S é aberto em R^2. Alternativamente, dado um ponto (x0,y0) com x0+y0<1, podemos escolher raio varepsilon>0 suficientemente pequeno para que em toda a bola de raio varepsilon em torno de (x0,y0) ainda valha x+y<1. Logo, S é aberto.

Passo 4

O complementar de S é
S^c = (x,y)mid x+y>=1,
que é o semiplano fechado acima da reta L. Como S^c é fechado, S não é fechado. Concluímos: S é aberto e não fechado.

Passo 5

Quanto à limitação, S se estende indefinidamente para a esquerda, para baixo e para longe da reta, portanto não é limitado. Pelo critério de Heine–Borel, um conjunto compacto em R^2 deve ser fechado e limitado; S falha em ambas, então não é compacto.

Passo 6

O interior de S é justamente ele mesmo, já que S é aberto:
int(S)=S=(x,y)mid x+y<1
A fecho de S é
S=(x,y)mid x+y<=1,
e a fronteira é
partial S=Ssetminusint(S) =(x,y)mid x+y=1,
ou seja, exatamente a reta limite.

Resposta

Geometricamente, S é o semiplano aberto abaixo da reta x+y=1.
  • Aberto: sim.
  • Fechado: não.
  • Limitado: não.
  • Compacto: não.
  • Interior: (x,y)mid x+y<1
  • Fronteira: (x,y)mid x+y=1

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