(Requer matéria da Seção 3.7) Suponha que \mathbf{B}=\mathbf{M A M}^{-1}, em que \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são matrizes n \times n e Mé inversível. Mostre que \mathbf{B}^{k}=\mathbf{M} \mathbf{A}^{k} \mathbf{M}^{-1} para todos os números inteiros positivos k.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas matrizes quadradas n\times n, \mathbf{A} e \mathbf{B}, e uma matriz invertível \mathbf{M} tais que
\mathbf{B} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}\,\mathbf{M}^{-1}.
Queremos mostrar que, para todo inteiro positivo k,
\mathbf{B}^{k} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\mathbf{M}^{-1}.
O método mais direto é usar princípio de indução em k.

Passo 2

(Base da indução)
Para k=1 vale
\mathbf{B}^{1} = \mathbf{B} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}\,\mathbf{M}^{-1},
que é exatamente a hipótese dada. Logo, a propriedade é verdadeira para k=1.

Passo 3

(Passo indutivo)
Suponha que, para um certo k\ge1, já tenhamos
\mathbf{B}^{k} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\mathbf{M}^{-1}.
Então para k+1 escrevemos
\mathbf{B}^{k+1} = \mathbf{B}^{k}\,\mathbf{B}.
Substituindo a hipótese indutiva e a expressão de \mathbf{B}, obtemos
\mathbf{B}^{k+1} = \bigl(\mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\mathbf{M}^{-1}\bigr)\, \bigl(\mathbf{M}\,\mathbf{A}\,\mathbf{M}^{-1}\bigr) = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\bigl(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M}\bigr)\,\mathbf{A}\,\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k+1}\,\mathbf{M}^{-1}.
Aqui usamos \mathbf{M}^{-1}\mathbf{M} = \mathbf{I}.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade é verdadeira para k=1 e o passo indutivo foi estabelecido, concluímos que
\mathbf{B}^{k} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\mathbf{M}^{-1}
para todo inteiro positivo k.

Resposta

\boxed{\mathbf{B}^{k} = \mathbf{M}\,\mathbf{A}^{k}\,\mathbf{M}^{-1},\quad k=1,2,3,\dots}

Exercícios de Livros Relacionados