(Requer matéria da Seção 3.7) Suponha que
, em que
e
são matrizes
e Mé inversível. Mostre que
para todos os números inteiros positivos
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas matrizes quadradas
,
e
, e uma matriz invertível
tais que
Queremos mostrar que, para todo inteiro positivo
,
O método mais direto é usar princípio de indução em
.
Passo 2
(Base da indução)
Para vale
Para
que é exatamente a hipótese dada. Logo, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
(Passo indutivo)
Suponha que, para um certo , já tenhamos
Suponha que, para um certo
Então para
escrevemos
Substituindo a hipótese indutiva e a expressão de
, obtemos
Aqui usamos
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade é verdadeira para
e o passo indutivo foi estabelecido, concluímos que
para todo inteiro positivo
.