(Fuvest-SP) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:
a) a raiz3
b) a raiz2
c) a raiz32
d) a raiz22
e) a raiz24

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes de um tetraedro regular de lado a. Para resolver, vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas no R^3, achar as coordenadas dos pontos médios e calcular a distância entre eles.

Passo 2

Escolhemos como base o triângulo equilátero ABC no plano xy:
A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = l(tfraca2,tfracraiz3,a2,0r)
O quarto vértice D fica acima do plano, na vertical do centróide G de ABC. As coordenadas de G são
G = l(tfrac0 + a + tfraca23,,tfrac0 + 0 + tfracraiz3,a23,,0r) = l(tfraca2,,tfracraiz3,a6,,0r)
Como DA=DB=DC=a, a altura h satisfaz
h^2 + l(dist(A,G)r)^2 ;=; a^2, e l(dist(A,G)r)^2 = l(tfraca2r)^2 + l(tfracraiz3,a6r)^2 = tfraca^23
Logo,
h^2 = a^2 - tfraca^23 = tfrac2a^23, h = araiztfrac23
Portanto
D = l(tfraca2,,tfracraiz3,a6,,araiztfrac23r)

Passo 3

Escolhemos as arestas AB e CD, que não se tocam. Seus pontos médios são
MAB = l(tfrac0+a2,,tfrac0+02,,tfrac0+02r) = l(tfraca2,0,0r),
MCD = l(tfractfraca2 + tfraca22,, tfractfracraiz3,a2 + tfracraiz3,a62,, tfrac0 + araiztfrac232r) = l(tfraca2,,tfracraiz3,a3,,tfraca2raiztfrac23r)

Passo 4

O vetor de MAB a MCD é
MABMCD = l(0,;tfracraiz3,a3,;tfraca2raiztfrac23r)
A distância é
l|MABMCDr| = raiz0^2 + l(tfracraiz3,a3r)^2 + l(tfraca2raiztfrac23r)^2 = raiztfraca^23 + tfraca^26 = raiztfraca^22 = araiz2 = araiz22

Resposta

araiz22 (alternativa d))

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