(Fuvest-SP) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes de um tetraedro regular de lado
. Para resolver, vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas no
, achar as coordenadas dos pontos médios e calcular a distância entre eles.
Passo 2
Escolhemos como base o triângulo equilátero
no plano
:
O quarto vértice
fica acima do plano, na vertical do centróide
de
. As coordenadas de
são
Como
, a altura
satisfaz
Logo,
Portanto
Passo 3
Escolhemos as arestas
e
, que não se tocam. Seus pontos médios são
Passo 4
O vetor de
a
é
A distância é