Resolva cada uma das seguintes equações diofantinas:
f) 12 x-27 y=33

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diofantina linear
12x - 27y = 33
ou seja, encontrar todas as soluções inteiras (x,y). O conteúdo é o estudo de equações lineares diofantinas e vamos precisar do cálculo do gcd e das soluções gerais de uma equação ax+by=c.

Passo 2

Calculemos gcd(12,27).
gcd(12,27)=3
Como 3mid33, a equação tem solução. Podemos simplificar dividindo toda a equação por 3:
4x - 9y = 11

Passo 3

Para achar uma solução particular, observamos a congruência
4x equiv 11 pmod9
Como 11equiv2pmod9, temos
4x equiv 2 pmod9
O inverso de 4 módulo 9 é 7 (pois 4cdot7=28equiv1pmod9), logo
xequiv 7cdot2 equiv14equiv5pmod9
Tomando x0=5, substituímos em 4x-9y=11:
4cdot5 - 9y0 = 11 Longrightarrow 20 - 9y0 = 11 Longrightarrow 9y0 = 9 Longrightarrow y0 = 1
Assim, (x0,y0)=(5,1) é uma solução particular.

Passo 4

A solução geral da homogênea 4x-9y=0 é dada por
4x = 9y Longrightarrow x = 9t,; y = 4t,
para tinZ. Somando à solução particular, obtemos a solução geral da não homogênea:
x = 5 + 9t, y = 1 + 4t, tinZ

Resposta

As soluções inteiras de 12x - 27y = 33 são
x = 5 + 9t, y = 1 + 4t, tinZ

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