Resolva as desigualdades.
(1 \leq x^{2}+2 x-2 \leq 6)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a dupla desigualdade
1 <= x^2 + 2x - 2 <= 6
O conteúdo envolvido é a resolução de desigualdades quadráticas. Para resolver, vamos quebrar a desigualdade em duas:
  1. x^2 + 2x - 2 >= 1
  2. x^2 + 2x - 2 <= 6
    e então tomar a interseção das soluções.

Passo 2

Primeiro transformamos cada parte em forma padrão de polinômio:
Para x^2 + 2x - 2 >= 1 temos
x^2 + 2x - 2 >= 1 Longrightarrow x^2 + 2x - 3 >= 0
Para x^2 + 2x - 2 <= 6 temos
x^2 + 2x - 2 <= 6 Longrightarrow x^2 + 2x - 8 <= 0

Passo 3

Resolvendo
x^2 + 2x - 3 >= 0,
calculemos as raízes da equação associada
x^2 + 2x - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2cdot1 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm 42,
de modo que as raízes são x = 1 e x = -3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, logo
x^2 + 2x - 3 >= 0 Long<=ftrightarrow x <= -3 ;ou; x >= 1

Passo 4

Agora resolvemos
x^2 + 2x - 8 <= 0
As raízes de
x^2 + 2x - 8 = 0
são
x = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-8)2 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm 62,
isto é, x = 2 e x = -4. Novamente a parábola abre para cima, portanto
x^2 + 2x - 8 <= 0 Long<=ftrightarrow -4 <= x <= 2

Passo 5

A solução da desigualdade composta é a interseção das duas soluções obtidas:
(x <= -3 ;ou; x >= 1) ;cap; (-4 <= x <= 2)
Isso resulta em
-4 <= x <= -3 ou 1 <= x <= 2

Resposta

[-4,, -3] ;cup; [1,, 2]

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