Resolva a equação dada pelo método de fatoração.
2 x^{2}+3 x+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
2x^{2}+3x+1=0
usando o método de fatoração. Vamos usar a técnica de decompor o termo do meio e fatorar por agrupamento.

Passo 2

Identificamos os coeficientes a=2, b=3 e c=1. Calculamos o produto
a\cdot c = 2\cdot 1 = 2
e procuramos dois números cuja soma seja b=3 e cujo produto seja 2. Esses números são 2 e 1, pois
2 + 1 = 3 \quad\text{e}\quad 2 \times 1 = 2.

Passo 3

Decompondo o termo 3x em 2x + x, reescrevemos a equação como
2x^{2} + 2x + x + 1 = 0.

Passo 4

Agora fatoramos por agrupamento:
2x^{2} + 2x + x + 1 = 2x(x + 1) + 1(x + 1) = (2x + 1)(x + 1).
Assim, a equação fica
(2x + 1)(x + 1) = 0.

Passo 5

Pelo princípio do produto nulo, igualamos cada fator a zero:
\begin{cases} 2x + 1 = 0 \\\\\ x + 1 = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x = -\dfrac{1}{2} \\\\\ x = -1 \end{cases}

Resposta

As soluções da equação são
x = -1 \quad\text{e}\quad x = -\frac{1}{2}.

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