Simplifique a expressão racional.
\frac{\frac{x}{x^{2}-9}-\frac{1}{x+3}}{\frac{3}{x-3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\displaystyle \frac{x}{x^{2}-9}-\frac{1}{x+3}}{\displaystyle \frac{3}{x-3}}
Isso envolve manipulação de expressões racionais: fatorar denominadores, fazer subtração de frações e depois dividir por uma fração. Note que já valem as restrições de domínio x\neq 3 e x\neq -3.

Passo 2

Começamos simplificando o numerador, observando que x^{2}-9=(x-3)(x+3). Assim,
\frac{x}{x^{2}-9}-\frac{1}{x+3} = \frac{x}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{x+3} = \frac{x - (x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{3}{(x-3)(x+3)}.

Passo 3

Substituímos esse resultado na expressão original e transformamos a divisão por \tfrac{3}{x-3} em multiplicação pelo seu recíproco:
\frac{\displaystyle \frac{3}{(x-3)(x+3)}}{\displaystyle \frac{3}{x-3}} = \frac{3}{(x-3)(x+3)}\;\times\;\frac{x-3}{3}.

Passo 4

Agora cancelamos o fator 3 e o fator (x-3), lembrando que x\neq3:
\frac{3}{(x-3)(x+3)}\times\frac{x-3}{3} = \frac{1}{x+3}.

Resposta

\frac{1}{x+3}

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