Resolva a equação dada pelo método de fatoração.
\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2 x+3}-\frac{11 x+10}{2 x^{2}+5 x+3}=0
\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2 x+3}-\frac{11 x+10}{2 x^{2}+5 x+3}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação fracionária
O conteúdo é resolução de equações racionais por fatoração de denominadores e soma de frações. Vamos precisar:
- Determinar o domínio.
- Fatorar o polinômio quadrático do terceiro denominador.
- Reduzir todas as frações ao mesmo denominador.
- Resolver a equação resultante.
Passo 2
Identificamos que os denominadores não podem ser zero:
Observação:
que gera exatamente as mesmas raízes excluídas.
Passo 3
Fatoramos o trinômio do terceiro denominador:
Portanto o denominador comum de todas as frações é
.
Passo 4
Escrevemos cada fração sobre o denominador comum:
Substituindo na equação original e colocando tudo sobre
, obtemos
Passo 5
Simplificamos o numerador:
logo
A equação fica
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática
.
O discriminante é
O discriminante é
Logo
resultando em
Passo 7
Verificamos o domínio:
está proibido (denominador nulo), então só sobra