Resolva a equação dada pelo método de fatoração.
\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2 x+3}-\frac{11 x+10}{2 x^{2}+5 x+3}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação fracionária
\frac{x}{x+1} \;+\;\frac{3}{2x+3}\;-\;\frac{11x+10}{2x^2+5x+3}=0.
O conteúdo é resolução de equações racionais por fatoração de denominadores e soma de frações. Vamos precisar:
  1. Determinar o domínio.
  2. Fatorar o polinômio quadrático do terceiro denominador.
  3. Reduzir todas as frações ao mesmo denominador.
  4. Resolver a equação resultante.

Passo 2

Identificamos que os denominadores não podem ser zero:
x+1\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq -1,
2x+3\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq -\tfrac32.
Observação:
2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3),
que gera exatamente as mesmas raízes excluídas.

Passo 3

Fatoramos o trinômio do terceiro denominador:
2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3).
Portanto o denominador comum de todas as frações é (x+1)(2x+3).

Passo 4

Escrevemos cada fração sobre o denominador comum:
\frac{x}{x+1}=\frac{x(2x+3)}{(x+1)(2x+3)}, \quad \frac{3}{2x+3}=\frac{3(x+1)}{(x+1)(2x+3)}, \quad \frac{11x+10}{2x^2+5x+3}=\frac{11x+10}{(x+1)(2x+3)}.
Substituindo na equação original e colocando tudo sobre (x+1)(2x+3), obtemos
\frac{x(2x+3)+3(x+1)\;-\;(11x+10)}{(x+1)(2x+3)}=0.

Passo 5

Simplificamos o numerador:
x(2x+3)=2x^2+3x, \quad 3(x+1)=3x+3,
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2x^2+3x+3x+3-(11x+10) =2x^2+(3+3-11)x+(3-10) =2x^2-5x-7.
A equação fica
\frac{2x^2-5x-7}{(x+1)(2x+3)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x^2-5x-7=0.

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática \,2x^2-5x-7=0.
O discriminante é
\Delta = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-7) =25+56=81.
Logo
x=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2\cdot2} =\frac{5\pm9}{4},
resultando em
x_1=\frac{5+9}{4}=\frac{14}{4}=\tfrac72, \quad x_2=\frac{5-9}{4}=-1.

Passo 7

Verificamos o domínio: x=-1 está proibido (denominador nulo), então só sobra
x=\tfrac72.

Resposta

x=\tfrac72.

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