Resolva a equação dada pelo método de fatoração.
\frac{9}{x^{2}}-\frac{6}{x}+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{9}{x^{2}} - \frac{6}{x} + 1 = 0
pelo método de fatoração. Vamos tratar essa equação racional, eliminando denominadores para chegar a um polinômio quadrático e depois fatorá-lo.

Passo 2

Antes de tudo, note que x\neq 0 para que as frações estejam bem definidas. Como x^2 é diferente de zero no domínio, podemos multiplicar ambos os lados da equação original por x^2 sem introduzir raízes estranhas.

Passo 3

Multiplicando por x^2, obtemos
9 - 6x + x^2 = 0.

Passo 4

Reorganizando em forma padrão, fica
x^2 - 6x + 9 = 0.
Esse trinômio é um quadrado perfeito e fatora-se como
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.

Passo 5

Da igualdade (x - 3)^2 = 0 segue
x - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.
Verificamos que x=3 não viola a condição x\neq 0, logo é solução válida.

Resposta

A única solução da equação é x = 3.

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