Fatore o polinômio usando coeficientes inteiros.
x^{4}+5 x^{3}-14 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^4 + 5x^3 - 14x^2
em fatores com coeficientes inteiros. Vamos usar as ideias de fator comum e de fatoração de trinômio quadrático.

Passo 2

Observamos que cada termo do polinômio tem pelo menos x^2 em comum. Extraindo esse fator comum, temos
x^4 + 5x^3 - 14x^2 = x^2 \bigl(x^2 + 5x - 14\bigr).

Passo 3

Agora precisamos fatorar o trinômio x^2 + 5x - 14. Para isso, buscamos dois números inteiros cuja soma seja 5 (coeficiente de x) e cujo produto seja -14 (termo constante). Esses números são 7 e -2, pois
7 + (-2) = 5 \quad\text{e}\quad 7 \cdot (-2) = -14.

Passo 4

Portanto, o trinômio se decompõe como
x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2),
e o polinômio original fica
x^2\,\bigl(x + 7\bigr)\,(x - 2).

Resposta

x^4 + 5x^3 - 14x^2 = x^2\,(x + 7)\,(x - 2).

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