Resolva a equação dada pelo método de fatoração.
\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+3}-\frac{10}{x^{2}+x-6}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+3}-\frac{10}{x^{2}+x-6}=0
pelo método de fatoração. O conteúdo envolve manipular expressões racionais, fatorar polinômios e eliminar denominadores.

Passo 2

Identificamos o domínio da equação, ou seja, os valores de x que anulam algum denominador. Como
x-2=0\implies x=2, \quad x+3=0\implies x=-3, \quad x^2+x-6=0\implies (x-2)(x+3)=0\implies x=2\text{ ou }x=-3,
temos que x\neq2 e x\neq-3.

Passo 3

Fatoramos o denominador composto:
x^2+x-6=(x-2)(x+3).
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por (x-2)(x+3), obtendo
x(x+3)-4(x-2)-10=0.

Passo 4

Desenvolvemos e simplificamos o polinômio resultante:
x(x+3)-4(x-2)-10 = x^2+3x -4x+8 -10 = x^2 - x -2.
Logo, a equação fica
x^2 - x - 2 = 0.

Passo 5

Fatoramos o trinômio:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)=0.
Isso dá as raízes
x=2 \quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 6

Verificamos o domínio: x=2 está proibido (anula denominador), então é extraneous. Permanece apenas
x=-1.

Resposta

-1

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