Resolva a equação: log 3[log 2(3 x^2-5 x+2)]=log 3 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
log3l[log2l(3x^2-5x+2r)r]=log32
O conteúdo é manipulação de equações logarítmicas e precisamos usar a propriedade de igualdade de logaritmos de mesma base e verificar as condições de existência (domínio) dos logaritmos.

Passo 2

Como a função log3 é estritamente crescente em seu domínio, temos
log3(A)=log3(2)Longrightarrow A=2,
contanto que A>0. Aqui A=log2(3x^2-5x+2), logo
log2(3x^2-5x+2)=2

Passo 3

Agora aplicamos a definição de logaritmo em base 2:
log2(B)=2Longrightarrow B=2^2=4,
com B=3x^2-5x+2. Assim
3x^2-5x+2=4

Passo 4

Reescrevendo a equação quadrática e resolvendo por Bhaskara:
3x^2-5x+2-4=0 Longrightarrow 3x^2-5x-2=0
O discriminante é
De<a =(-5)^2-4cdot3cdot(-2)=25+24=49,
portanto as raízes são
x=5pmraiz492cdot3 =5pm76,
isto é
x1=126=2, x2=-26=-tfrac13

Passo 5

Verificamos o domínio original: precisamos de
  1. 3x^2-5x+2>0 para log2(3x^2-5x+2) existir,
  2. log2(3x^2-5x+2)>0 para log3[dots] existir.
    Em ambas as raízes temos
3x^2-5x+2=4>0, log2(4)=2>0,
logo ambas satisfazem as condições de existência.

Resposta

As soluções são
x=2 ou x=-tfrac13

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