Resolva a equação (0,4)^log ^2 x+1=(6,25)^2-log x^3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
(0,4)^log^2x+1 ;=;(6,25)^2-log x^3,
onde log é o logaritmo decimal. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos para reescrever as bases com um mesmo “núcleo” e então igualar expoentes.

Passo 2

Observamos que
0,4 = 25 = l(52r)^-1 e 6,25 = 254 = l(52r)^2
Logo, aplicando l(a^br)^c = a^b,c, a equação vira
l(tfrac52r)^-(log^2x+1) ;=; l(tfrac52r)^2,(2-log x^3) ;=; l(tfrac52r)^4-6log x
Como 52>1, podemos igualar os expoentes:
-l(log^2x+1r) ;=; 4 - 6log x

Passo 3

Reescrevendo em forma de polinômio, seja t=log x. Temos
-(t^2+1) = 4 - 6t Longrightarrow -t^2-1-4+6t=0 Longrightarrow t^2-6t+5=0
Resolvendo a equação quadrática:
t = 6pmraiz36-202 = 6pm42 ;Longrightarrow; t=5ou t=1

Passo 4

Voltando a x via t=log x:
log x = 5 ;Longrightarrow; x=10^5, log x = 1 ;Longrightarrow; x=10
Ambas são soluções válidas no domínio x>0.

Resposta

As soluções são
x = 10 e x = 10^5

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