Resolva as equações:
log x^2(5 x-6)-3 cdot log x(5 x-6)+2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
logx^2(5x-6) ;-; 3,logx(5x-6);+;2;=;0
O conteúdo envolvido é resolução de equação quadrática em termos de logx(5x-6) e depois resolução de equações logarítmicas, observando as restrições de domínio: base x>0, xneq1 e argumento 5x-6>0.

Passo 2

Fazemos a troca
y = logx(5x-6),
de modo que a equação vira a quadrática
y^2 - 3y + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a quadrática em y:
y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)=0 Longrightarrow y = 1 ou y = 2

Passo 4

Caso y=1: temos
logx(5x-6) = 1 Longrightarrow 5x-6 = x^1 = x Longrightarrow 4x = 6 Longrightarrow x = 32
Verificamos o domínio: para x=tfrac32 temos x>0, xneq1 e 5x-6= tfrac152-6=tfrac32>0. Logo, é solução válida.

Passo 5

Caso y=2: temos
logx(5x-6) = 2 Longrightarrow 5x-6 = x^2 Longrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 Longrightarrow (x-2)(x-3)=0
Longrightarrow x = 2 ou x = 3
Verificamos o domínio para cada: ambos são >0, neq1 e geram 5x-6>0, logo são válidos.

Resposta

dfrac32, 2 e 3.

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