Resolva equação log 2(x-2)=log 2(x^2-x+6)+log 12(2 x+1).

Solução

Estabelecendo inicialmente a condição de existência dos logaritmos, temos:
l x-2>0 Rightarrow x>2 x^2-x+6>0 Rightarrow forall x in R 2 x+1>0 Rightarrow x>-12 Rightarrow x>2
Aplicando as propriedades e transformando os logaritmos à base 2, temos:
& log 2(x-2)=log 2(x^2-x+6)+log 2-1(2 x+1) Rightarrow & Rightarrow log 2(x-2)=log 2(x^2-x+6)-log 2(2 x+1) Rightarrow & Rightarrow log 2(x-2)=log 2 x^2-x+62 x+1 Rightarrow x-2=x^2-x+62 x+1 Rightarrow & Rightarrow 2 x^2-3 x-2=x^2-x+6 Rightarrow x^2-2 x-8=0 Rightarrowl x=4 x=-2 (não convém) & S=4 ãé

Passo 1

Temos a equação
log2(x-2)=log2l(x^2-x+6r)+logtfrac12(2x+1)
O conteúdo é equação logarítmica: vamos determinar o domínio, usar mudança de base e as propriedades de soma e diferença de logaritmos para reduzir a um polinômio.

Passo 2

Condições de existência (argumentos positivos):
x-2>0;Rightarrow;x>2,
x^2-x+6>0(sempre verdadeiro, pois o discriminante é negativo), é
2x+1>0;Rightarrow;x>-tfrac12
Para valerem todos, precisamos de
x>2

Passo 3

Usamos a fórmula de mudança de base em logtfrac12(2x+1):
logtfrac12(2x+1) =log2(2x+1)log2(tfrac12) =log2(2x+1)-1 =-log2(2x+1)
Assim a equação vira
log2(x-2) =log2(x^2-x+6);-;log2(2x+1)

Passo 4

Aplicamos a propriedade
log2A-log2B=log2l(A/Br). Logo
log2(x-2) =log2!gl(x^2-x+62x+1gr)

Passo 5

Como as duas razões estão em log2, e sabemos que o argumento de cada log é positivo no domínio, concluímos
x-2=x^2-x+62x+1

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 2x+1 e resolvemos:
(x-2)(2x+1)=x^2-x+6 Rightarrow 2x^2-3x-2=x^2-x+6 Rightarrow x^2-2x-8=0
Fatorando,
(x-4)(x+2)=0 Rightarrow x=4ou x=-2
Como exigimos x>2, só vale x=4.

Resposta

A solução da equação é 4.

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