Resolva as equações:
x^3 cdot log ^2 x-23 cdot log x=100 raiz[3]10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^3,l(log xr)^2;-;tfrac23,log x ;=;100,raiz[3]10,
onde entendemos log x como logaritmo de base 10 e o domínio é x>0.
Conteúdo: transformação de uma equação transcendente em função de uma única variável via substituição, seguida de método numérico (interpolação) para achar as raízes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = log x,
logo
x = 10^t, x^3 = (10^t)^3 = 10^3t
Substituindo na equação original obtemos
10^3t,t^2 ;-;tfrac23,t ;=;100cdot10^tfrac13
Definimos a função
f(t)=10^3t,t^2 ;-;tfrac23,t ;-;100,10^tfrac13,
e procuramos as soluções de f(t)=0.

Passo 3

Para localizar uma raiz razoável procuramos valores de t com f(t) de sinais opostos.
  • Em t=0,8: 10^3cdot0.8=10^2.4approx251,19, f(0,8)approx0.8^2cdot251,19-tfrac23cdot0.8-100cdot10^tfrac13 approx160,2-0,53-215,4<0
  • Em t=0,85: 10^2.55approx354,8, f(0,85)approx0.85^2cdot354,8-0,57-215,4>0
Logo há uma raiz em [0,8,0,85].

Passo 4

Ajustamos por interpolação linear entre (t,f(t))approx(0,83,-3) e (0,835,7):
tapprox0,83+0-(-3)7-(-3)times(0,835-0,83)approx0,831
Assim
x = 10^t approx10^0,831approx6,76

Passo 5

Como f(t)to+infty também quando tto-infty e f(0)<0, há outra raiz em t<0. Aproximando f(t)approx-tfrac23t-100cdot10^1/3 para |t|gg1
tapprox-tfrac32;100,10^tfrac13approx-323,1,
de modo que
x=10^tapprox10^-323,1,
uma solução positiva porém numericamente desprezível.

Resposta

As soluções na prática são
xapprox6,76 e xapprox10^-323,1

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