Resolva as equações:
3+log 2 xlog 2 x+2-log 2 x3-log 2 x=52

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo logaritmos
3+log2xlog2x ;+;2-log2x3-log2x ;=;52
O conteúdo aplicado é manipulação de expressões racionais em logaritmos e mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = log2x,
de modo que x>0 implica tinR. Pelas frações temos as restrições
log2xneq 0Longrightarrow tneq 0,
3-log2xneq 0Longrightarrow tneq 3

Passo 3

Em termos de t a equação fica
3+tt ;+;2-t3-t = 52
Multiplicamos ambos os lados por 2t(3-t) para eliminar denominadores:
2(3+t)(3-t) ;+;2t(2-t) ;=;5,t(3-t)

Passo 4

Expandindo e reunindo termos:
2(9 - t^2) + 2t(2-t) = 18 -2t^2 +4t -2t^2 = 18 +4t -4t^2,
e o lado direito é
5t(3-t)=15t -5t^2
Igualando e trazendo tudo para um lado:
18 +4t -4t^2 -15t +5t^2 = 0 ;Longrightarrow; t^2 -11t +18 = 0
Resolvendo a quadrática:
De<a = (-11)^2 -4cdot1cdot18 = 121 -72 =49,
t = 11 pm 72 ;Longrightarrow; t=9 ou t=2

Passo 5

Cada t x=2^t. Como tneq0,3, ambos 2 e 9 são válidos:
t=2;Longrightarrow; x=2^2=4,
t=9;Longrightarrow; x=2^9=512

Resposta

x=4
x=512

Exercícios de Livros Relacionados