Resolva os sistemas de equações, em R times R:
lx+y-raizx y=7 x^2+y^2+x y=133

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema em
O conteúdo principal é usar as relações entre soma e produto de e a definição de para simplificar o sistema.

Passo 2

Definimos
S = x + y, a = raizxy
Então a primeira equação vira
S - a = 7,
e temos também
xy = a^2

Passo 3

Na segunda equação escrevemos
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2,xy = S^2 - 2a^2,
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x^2 + y^2 + xy = (S^2 - 2a^2) + a^2 = S^2 - a^2 = 133

Passo 4

Repare que
S^2 - a^2 = (S - a)(S + a) = 133
Como S - a = 7, segue
7,(S + a) = 133 Longrightarrow S + a = 1337 = 19

Passo 5

Temos o sistema
S - a = 7, S + a = 19
Somando dá 2S = 26, ou seja S = 13. Subtraindo dá 2a = 12, ou seja a = 6.

Passo 6

Agora
x + y = 13, xy = 6^2 = 36
Portanto x e y são raízes da equação
t^2 - 13,t + 36 = 0,
que fatoriza em
(t - 4)(t - 9) = 0
dando t = 4 ou t = 9.

Passo 7

Como raiz4cdot9=6 confirma a=6, as soluções reais do sistema são os pares
(x,y)=(4,9) e (9,4).

Resposta

As soluções são (x,y) = (4,9) e (x,y) = (9,4).

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