Resolva, em R, as equações:
raizx-1+raiz2 x-2=2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver em R a equação com radical aninhado
raizx - 1 + raiz2x - 2 = 2
Conteúdo: equações irracionais. Vamos precisar determinar o domínio de validade dos radicais, isolar o termo que contém raiz e elevar ambos os lados ao quadrado, cuidando de eventuais soluções extraviadas.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. Para que a raiz interna faça sentido, precisamos
2x - 2 >= 0 Longrightarrow x >= 1
Além disso, o radicando externo x - 1 + raiz2x - 2 deve ser não negativo, mas para x>=1 temos x-1>=0 e raiz2x-2>=0, portanto essa condição já está garantida por x>=1.

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz externa. Partindo de
raizx - 1 + raiz2x - 2 = 2,
obtemos
x - 1 + raiz2x - 2 = 2^2 = 4

Passo 4

Isolar a raiz interna em função de x:
raiz2x - 2 = 4 - (x - 1) = 5 - x
Como raiz2x - 2>=0, precisamos também
5 - x >= 0 Longrightarrow x <= 5
Combinando com x>=1, ficamos com
1 <= x <= 5

Passo 5

Elevar ao quadrado novamente para eliminar a raiz interna:
2x - 2 = (5 - x)^2 = x^2 - 10x + 25
Reescrevendo em forma padrão:
0 = x^2 - 10x + 25 - (2x - 2) = x^2 - 12x + 27
Calculando o discriminante De<a = (-12)^2 - 4cdot1cdot27 = 144 - 108 = 36, as raízes são
x = 12 pm raiz362 = 12 pm 62 ;Longrightarrow; x = 9 ;ou; x = 3

Passo 6

Verificar quais raízes respeitam o intervalo de validade 1 <= x <= 5:
x = 9 não va<= (fora do intervalo), x = 3 va<= (está em [1,5]) ãá
Ainda confirmamos no original:
raiz3 - 1 + raiz2cdot3 - 2 = raiz2 + raiz6 - 2 = raiz2 + 2 = 2,
logo x=3 é solução válida.

Resposta

x = 3

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