Resolva a equação raiz[3]x+49-raiz[3]x-49=2, para x real.

Solução

raiz[3]x+49-raiz[3]x-49=2 Rightarrow raiz[3]x+49=2+raiz[3]x-49 Rightarrow(raiz[3]x+49)^3=
=(2+raiz[3]x-49)^3 Rightarrow x+49=8+12 raiz[3]x-49+6(raiz[3]x-49)^2+x-49 Rightarrow
Rightarrow 6(raiz[3]x-49)^2+12 raiz[3]x-49-90=0 Rightarrow(raiz[3]x-49)^2+2 raiz[3]x-49-15=0
Fazendo raiz[3]x-49=y, temos:
y^2+2 y-15=0 Rightarrow y=3 ou y=-5, mas y=raiz[3]x-49; então:
raiz[3]x-49=3 Rightarrow x-49=3^3 Rightarrow x=76
raiz[3]x-49=-5 Rightarrow x-49=(-5)^3 Rightarrow x=-76
S=76,-76

Passo 1

O enunciado pede para resolver para xinR a equação
raiz[3]x+49-raiz[3]x-49=2
Esse tipo de problema envolve manipulação de radicais de índice 3: isolamos um radical, elevamos ao cubo para eliminar raiz e depois usamos substituição para resolver a equação resultante.

Passo 2

Vamos isolar raiz[3]x+49. Da equação original temos
raiz[3]x+49=2+raiz[3]x-49
Isso prepara a expressão para ser elevada ao cubo e eliminar o radical.

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao cubo. Usando
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3,
com a=2 e b=raiz[3]x-49, obtemos
x+49 = (2+raiz[3]x-49)^3 =8 +12raiz[3]x-49+6(raiz[3]x-49)^2 + (x-49)
Subtraindo x de ambos os lados e recolhendo termos, chega-se a
6(raiz[3]x-49)^2 +12raiz[3]x-49-90=0 Longrightarrow (raiz[3]x-49)^2 +2raiz[3]x-49-15=0

Passo 4

Fazendo a substituição
y = raiz[3]x-49,
a equação torna-se
y^2 +2y -15 = 0
As raízes desse polinômio são
y=3 ou y=-5

Passo 5

Voltando a x, resolvemos raiz[3]x-49=y em cada caso:
  • Para y=3: x-49=3^3=27 Longrightarrow x=76
  • Para y=-5: x-49=(-5)^3=-125 Longrightarrow x=-76

Passo 6

Verificamos rapidamente na equação original:
raiz[3]76+49-raiz[3]76-49=5-3=2,
raiz[3]-76+49-raiz[3]-76-49=-3-(-5)=2
Logo, ambas são soluções válidas.

Resposta

76,;-76

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