Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
cos (2 x)+3 cos (x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
cos(2x) + 3cos(x) = 1
no intervalo ;0 <= x <= pi2.
O conteúdo principal aqui é usar a identidade de ângulo duplo
cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
e depois resolver uma equação quadrática em cos(x).

Passo 2

Substituímos a identidade de ângulo duplo na equação:
cos(2x) + 3cos(x) = 1 Longrightarrow l(2cos^2(x)-1r) + 3cos(x) = 1
Agora reunimos termos semelhantes:

Passo 3

2cos^2(x) - 1 + 3cos(x) - 1 = 0 Longrightarrow 2cos^2(x) + 3cos(x) - 2 = 0
Fazendo t = cos(x), obtemos a quadrática
2t^2 + 3t - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo em t:
De<a = 3^2 - 4cdot 2 cdot(-2) = 9 + 16 = 25,
t = -3 pm raiz252cdot 2 = -3 pm 54 ;Longrightarrow; t = 12ou t = -2
Como cos(x) varia entre -1 e 1, descartamos t=-2 e ficamos com
cos(x)=tfrac12.

Passo 5

Em 0 <= x <= pi2, a única solução de
cos(x)=tfrac12
é
x = pi3

Resposta

x = pi3

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