Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
4 cos (2 x)cos ^2(x)-19 tan (x)=16

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4cos(2x)cos^2(x) ;-; 19tan(x) ;=; 16
no intervalo 0 <= x <= pi2. Vamos usar identidades trigonométricas para reescrever tudo em termos de tan(x) e sec(x).

Passo 2

Usamos a identidade
cos(2x) = 2cos^2(x)-1
para reescrever o primeiro termo:
4cos(2x)cos^2(x) = 4l(2cos^2(x)-1r)cos^2(x) = 8cos^2(x)-4cos^2(x) = 8 - 4sec^2(x)
Assim a equação fica
8 ;-; 4sec^2(x);-;19tan(x) ;=;16

Passo 3

Rearranjando os termos:
8 - 4sec^2(x) - 19tan(x) = 16 Longrightarrow -4sec^2(x) - 19tan(x) = 8 Longrightarrow 4sec^2(x) + 19tan(x) = -8

Passo 4

Substituímos sec^2(x)=1+tan^2(x):
4l(1+tan^2(x)r) + 19tan(x) + 8 = 0 Longrightarrow 4tan^2(x) + 19tan(x) + 12 = 0

Passo 5

Resolvendo a quadrática em t=tan(x):
4t^2 + 19t + 12 = 0,
De<a = 19^2 - 4cdot4cdot12 = 361 - 192 = 169, raizDe<a=13,
t = -19 pm 138 ;Longrightarrow; t1 = -tfrac34, t2 = -4
Como estamos em 0 <= x <= tfracpi2, temos tan(x)>=0. Nenhuma das raízes é não-negativa, logo não há solução no intervalo dado.

Resposta

Não há soluções em l[0,tfracpi2r].

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