Prove as identidades usando as fórmulas de arco duplo.
cos (2 x)=cos ^4(x)-sen^4(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
cos(2x)=cos^4(x)-sin^4(x)
usando fórmulas de arco duplo e identidades fundamentais de trigonometria.

Passo 2

Lembramos da fórmula de ângulo duplo para o cosseno e da identidade de Pitágoras:
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x),
cos^2(x)+sin^2(x)=1

Passo 3

Como cos^2(x)+sin^2(x)=1, podemos multiplicar o lado direito de cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) por 1:
cos(2x) =(cos^2(x)-sin^2(x))cdot1 =(cos^2(x)-sin^2(x))l(cos^2(x)+sin^2(x)r)

Passo 4

Reconhecemos no produto (cos^2(x)-sin^2(x))(cos^2(x)+sin^2(x)) a diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2,
com a=cos^2(x) e b=sin^2(x). Então
(cos^2(x)-sin^2(x))(cos^2(x)+sin^2(x)) =cos^4(x)-sin^4(x)
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cos(2x)=cos^4(x)-sin^4(x)

Resposta

cos(2x)=cos^4(x)-sin^4(x), como desejado.

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