Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
sen(x-pi2)+sen(x)sen(2 x)=0

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver, em [0,pi/2], a equação
senl(x-tfracpi2r);+;sen(x)sen(2x);=;0
Para isso vamos usar duas identidades trigonométricas básicas:
  1. senl(x-tfracpi2r)=-cos(x).
  2. sen(2x)=2sen(x)cos(x).

Passo 2

Usando a identidade para sen(x-tfracpi2) e a do ângulo duplo, reescrevemos
senl(x-tfracpi2r) ;+; sen(x)sen(2x) ;=; -cos(x) ;+; sen(x)2sen(x)cos(x)
Como estamos em (0,pi/2], temos sen(x)neq0, logo
sen(x)2sen(x)cos(x) =12cos(x)
A equação vira
-cos(x)+12cos(x)=0

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 2cos(x) (que é positivo em (0,pi/2)), obtendo
-2cos^2(x)+1=0
Logo
2cos^2(x)=1 Longrightarrow cos^2(x)=tfrac12

Passo 4

Como cos(x)>=0 em [0,pi/2], tiramos raiz positiva:
cos(x)=1raiz2 Longrightarrow x=pi4
Os extremos x=0 e x=pi/2 não podem ser incluídos porque em cada um deles sen(2x)=0 e a fração original fica indefinida.

Resposta

x=pi4

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