Prove as identidades abaixo usando as fórmulas de transformação em produto.
cos (4 x)-cos (6 x)sen(2 x)=sen(5 x) sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
cos(4x)-cos(6x)sin(2x) = sin(5x),sec(x)
Usaremos as fórmulas de transformação em produto
cos A - cos B = -2sinl(A+B2r),sinl(A-B2r)
e a identidade de ângulo duplo
sin(2x) = 2sin xcos x

Passo 2

Aplicando a fórmula da diferença de cossenos com A=4x e B=6x, temos
cos(4x)-cos(6x) = -2,sin!l(4x+6x2r),sin!l(4x-6x2r) = -2,sin(5x),sin(-x) = 2,sin(5x),sin(x)
Logo o numerador torna-se 2sin(5x)sin(x).

Passo 3

Como sin(2x)=2sin xcos x, o quociente original fica
2sin(5x)sin(x)2sin(x)cos(x) = sin(5x)cos(x)

Passo 4

Reconhecendo que 1cos(x)=sec(x), concluímos
cos(4x)-cos(6x)sin(2x) = sin(5x)cos(x) = sin(5x),sec(x)

Resposta

cos(4x)-cos(6x)sin(2x) = sin(5x),sec(x)

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