Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
2 sen(x-pi4)-cos (x)=-raiz2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2sin!l(x-tfracpi4r)-cos x=-raiz2
no intervalo [0,pi/2]. Vamos usar identidades trigonométricas e a forma Asin x+Bcos x=C.

Passo 2

Expandindo sin(x-pi/4) por
sin!l(x-tfracpi4r) =sin xcostfracpi4-cos xsintfracpi4 =sin x-cos xraiz2
substituímos na equação e obtemos
2cdotsin x-cos xraiz2-cos x=-raiz2 Longrightarrow raiz2,sin x-(raiz2+1)cos x=-raiz2

Passo 3

Escrevemos
raiz2,sin x-(raiz2+1)cos x =Rsin(x+phi),
onde
R=raiz(raiz2)^2+(-(raiz2+1))^2 =raiz2+(raiz2+1)^2 =raiz5+2raiz2,
e phi satisfaz
cosphi=raiz2R, sinphi=-raiz2+1R
Assim a equação vira
Rsin(x+phi)=-raiz2 Longrightarrow sin(x+phi)=-raiz2R

Passo 4

Numericamente temos
Rapprox2,797, phiapprox-1,041 rad, -raiz2Rapprox-0,506
As soluções de sin y=-0,506 são
y1=arcsin(-0,506)approx-0,529, y2=pi -y1approx3,671
Logo
x+phi=yk ;Longrightarrow; x=yk-phi
Para y1 obtemos
x1approx-0,529-(-1,041)=0,512 rad,
que está em [0,pi/2]. Para y2 x2approx4,712 rad, fora do intervalo.

Resposta

A única solução em [0,pi/2] é
xapprox0,512 rad

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