Sem usar calculadora, mas apenas as fórmulas de arco metade, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos abaixo.
11 pi12

Passo 1

O enunciado nos pede, sem usar calculadora e apenas com as fórmulas de arco-metade, determinar
sinl(11pi/12r), cosl(11pi/12r) e tanl(11pi/12r).
O conteúdo envolve identidades de soma/subtração de ângulos e fórmulas de arco-metade em trigonometria.

Passo 2

Note que
11pi/12 ;=;pi - pi/12
E sabemos as relações
sin(pi - x)=sin x, cos(pi - x)=-cos x, tan(pi - x)=-tan x
Logo, para encontrar sin(11pi/12), cos(11pi/12) e tan(11pi/12) basta conhecer sin(pi/12), cos(pi/12) e tan(pi/12).

Passo 3

Para pi/12 usamos a fórmula de arco-metade com alpha=pi/6, sabendo que
sin(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32.
sin!l(tfracalpha2r) =pmraiz1-cosalpha2, cos!l(tfracalpha2r) =pmraiz1+cosalpha2, tan!l(tfracalpha2r) =sinalpha1+cosalpha
Como pi/12 está no primeiro quadrante, tomamos sinais positivos em sin e em cos:
sinl(tfracpi12r) =raiz1-tfracraiz322 =raiz2-raiz32, cosl(tfracpi12r) =raiz1+tfracraiz322 =raiz2+raiz32,
tanl(tfracpi12r) =sin(pi/6)1+cos(pi/6) =tfrac121+tfracraiz32 =12+raiz3 =2-raiz3

Passo 4

Aplicando as fórmulas do Passo 2 com x=pi/12:
sinl(11pi/12r) =sinl(pi-tfracpi12r) =sinl(tfracpi12r) =raiz2-raiz32,
cosl(11pi/12r) =cosl(pi-tfracpi12r) =-cosl(tfracpi12r) =-raiz2+raiz32,
tanl(11pi/12r) =tanl(pi-tfracpi12r) =-tanl(tfracpi12r) =-(2-raiz3) =raiz3-2

Resposta

sinl(11pi/12r)=raiz2-raiz32
cosl(11pi/12r)=-raiz2+raiz32
tanl(11pi/12r)=raiz3-2

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