Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
5 sen(x)+32 sen(2 x) tan (x)-2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
5,sen(x) + 32,sen(2x),tan(x) - 2 = 0
no intervalo 0 <= x <= pi2. O conteúdo principal é manipular identidades trigonométricas para reduzir a equação a um polinômio em sin(x) e depois resolver este polinômio.

Passo 2

Usamos as identidades
sen(2x)=2sin(x)cos(x) e tan(x)=sin(x)cos(x). Logo,
sen(2x),tan(x) =2sin(x)cos(x),sin(x)cos(x) =2sin^2(x)
Substituindo na equação, obtemos
5sin(x) + 32l(2sin^2(x)r) - 2 = 0 Longrightarrow 5sin(x) + 3sin^2(x) - 2 = 0

Passo 3

Faça t=sin(x). A equação vira o polinômio
3t^2 + 5t - 2 = 0
O discriminante é
De<a = 5^2 - 4cdot3cdot(-2) = 25 + 24 = 49,
logo as raízes são
t = -5 pm raiz492cdot3 =-5 pm 76 ;Longrightarrow; t1 = 13, t2 = -2

Passo 4

Como t=sin(x) deve pertencer a [0,1] no intervalo dado, descartamos t2=-2. Resta
sin(x)=13 Longrightarrow x = arcsin!l(tfrac13r),
que está em l[0,tfracpi2r].

Resposta

x = arcsin!l(tfrac13r)

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