Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
tan (2 x)-cos (x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
tan(2x)-cos(x)=0
no intervalo 0<= x<=pi2. Vamos usar as identidades de ângulo duplo e equações trigonométricas.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
tan(2x)=cos(x)
e usando tan(2x)=dfracsin(2x)cos(2x), obtemos
sin(2x)cos(2x)=cos(x)

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por cos(2x), chega-se a
sin(2x)=cos(2x),cos(x)

Passo 4

Aplicando as fórmulas de ângulo duplo
sin(2x)=2sin(x)cos(x) e cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x), a equação vira
2sin(x)cos(x)=(cos^2(x)-sin^2(x)),cos(x)
Aqui distinguimos dois casos: cos(x)=0 e cos(x)neq0.

Passo 5

Caso cos(x)=0. No intervalo dado isso só ocorre em x=pi2. Verificando em tan(2x)-cos(x):
tan(pi)-cos!l(tfracpi2r)=0-0=0,
logo x=tfracpi2 é solução.

Passo 6

Caso cos(x)neq0. Dividindo a equação por cos(x), obtemos
2sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
Substituindo cos^2(x)=1-sin^2(x)
2sin(x)=1-2sin^2(x) Longrightarrow 2sin^2(x)+2sin(x)-1=0

Passo 7

Definindo t=sin(x), resolvemos a quadrática
2t^2+2t-1=0
pela fórmula de Bhaskara:
t=-2pmraiz4+84 =-2pm2raiz34 =-1pmraiz32
tfrac-1+raiz32approx0,366 está em [0,1]. Então
sin(x)=raiz3-12,
e em [0,tfracpi2] isto leva a
x=arcsin!l(raiz3-12r)

Resposta

As soluções em 0<= x<=pi2 são
x=arcsin!l(tfracraiz3-12r) e x=pi2

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