Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
sen(x)=raiz24

Passo 1

O enunciado diz que sin(x)=raiz24 com 0<= x<= tfracpi2, e pede sin(2x), cos(2x) e tan(2x). Vamos usar a identidade pitagórica para achar cos(x) e, em seguida, aplicar as fórmulas do ângulo duplo:
sin(2x)=2sin(x)cos(x), cos(2x)=1-2sin^2(x), tan(2x)=sin(2x)cos(2x)

Passo 2

Como x está no primeiro quadrante, cos(x)>=0. Usando cos^2(x)=1-sin^2(x), temos
cos(x) =raiz1-sin^2(x) =raiz1-l(raiz24r)^2 =raiz1-216 =raiz1416 =raiz144

Passo 3

Para sin(2x), substituímos em sin(2x)=2sin(x)cos(x):
sin(2x) =2cdotraiz24cdotraiz144 =2raiz2816 =4raiz716 =raiz74

Passo 4

Para cos(2x), usamos cos(2x)=1-2sin^2(x):
cos(2x) =1-2l(raiz24r)^2 =1-2cdot216 =1-416 =1216 =34

Passo 5

Finalmente, tan(2x)=dfracsin(2x)cos(2x):
tan(2x) =tfracraiz74tfrac34 =raiz73

Resposta

sin(2x)=raiz74,
cos(2x)=34,
tan(2x)=raiz73

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