Resolva as equações:
log x(4-3 x)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
logx(4-3x) = 2
O conteúdo envolvido é logaritmo com base variável. Para resolver, vamos precisar:
  1. Escrever a condição de existência do logaritmo (domínio de x e do argumento).
  2. Usar a definição de logaritmo para transformar em equação exponencial.
  3. Resolver a equação resultante e verificar as raízes no domínio.

Passo 2

Determinamos o domínio da função logaritmo:
  1. A base x deve satisfazer x>0 e x neq 1.
  2. O argumento 4-3x deve ser positivo, ou seja,
4 - 3x > 0 Longrightarrow x < tfrac43
Logo, inicialmente temos
0 < x < 1 ou 1 < x < tfrac43

Passo 3

Aplicamos a definição de logaritmo:
logx(4-3x) = 2 Long<=ftrightarrow x^2 = 4 - 3x

Passo 4

Reescrevendo como equação polinomial, obtemos
x^2 + 3x - 4 = 0
Resolvendo por fatoração:
x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1) = 0
as raízes são
x = -4 ou x = 1

Passo 5

Verificamos cada raiz no domínio:
  • x = -4 não satisfaz x>0.
  • x = 1 não pode, pois a base do logaritmo não pode ser 1.
    Portanto, nenhuma das raízes obtidas está no domínio válido.

Resposta

A equação não possui solução real.

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