Resolva a equação log 3(3^x-1) cdot log 3(3^x+1-3)=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log3l(3^x-1r);cdot;log3l(3^x+1-3r)=6
O conteúdo aqui é manipulação de logaritmos e mudança de variável. Vamos precisar usar domínio de logaritmo e propriedades como
log3(a b)=log3a+log3b
e a substituição t=3^x.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
,3^x-1>0implies3^x>1implies x>0,
,3^x+1-3>0implies3cdot3^x>3implies3^x>1implies x>0
Logo, precisamos de x>0.

Passo 3

Fazemos a substituição t=3^x com t>1. Então
log3l(3^x-1r)=log3(t-1), log3l(3^x+1-3r)=log3l(3t-3r) =log3l(3,(t-1)r) =1+log3(t-1)
A equação vira
log3(t-1),l[1+log3(t-1)r]=6

Passo 4

Seja A=log3(t-1). A equação fica
A,(1+A)=6 Longrightarrow A^2+A-6=0
Resolvendo a quadrática:
A=-1pmraiz1+242 =-1pm52 ;Longrightarrow; A=2 ou A=-3

Passo 5

Voltando a t:
  • Se A=2, então log3(t-1)=2implies t-1=3^2=9implies t=10
  • Se A=-3, então log3(t-1)=-3implies t-1=3^-3=tfrac127implies t=1+tfrac127=tfrac2827
    Como ambas as soluções satisfazem t>1, todas são válidas.
    Por fim, t=3^x implica
x=log3(t) ;Longrightarrow; x=log3(10) ou x=log3l(tfrac2827r)

Resposta

x=log3(10) ou x=log3l(tfrac2827r)

Exercícios de Livros Relacionados