Avalie os seguintes determinantes:
(c) \frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{cccc}0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\\\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\det M
onde
M=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0\\\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3}\\\\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é a avaliação de determinante de matriz tridiagonal por meio de recorrência de menores principais.

Passo 2

Identificamos que M é tridiagonal com elementos da diagonal a_i=0 e subdiagonais
\displaystyle b_1=\sqrt{3},\;b_2=2,\;b_3=\sqrt{3}.

Passo 3

Usamos a recorrência de determinantes de menores principais D_n:
D_n = a_n\,D_{n-1} - b_{n-1}^2\,D_{n-2},
com condições iniciais D_0=1 e D_1=a_1=0.

Passo 4

Calculamos os menores:
D_0=1,\quad D_1=0,
D_2 = a_2D_1 - b_1^2D_0 = 0\cdot0 - (\sqrt{3})^2\cdot1 = -3,
D_3 = a_3D_2 - b_2^2D_1 = 0\cdot(-3) - 2^2\cdot0 = 0,
D_4 = a_4D_3 - b_3^2D_2 = 0\cdot0 - (\sqrt{3})^2\cdot(-3) = 9.
Logo, \det M = D_4 = 9.

Passo 5

Multiplicando pelo fator externo, obtemos
\frac{1}{\sqrt{2}}\det M = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{\sqrt{2}} (ou, racionalizando, \displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}).

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