Dado o par de equações
x+2 y=3, \quad 2 x+4 y=6,
(a) Mostre que o determinante dos coeficientes se anulam.
(b) Mostre que os determinantes do numerador (Equação (3.18)) também se anulam.
(c) Ache ao menos duas soluções.

Passo 1

Temos o sistema linear em duas variáveis
\begin{cases} x + 2y = 3,\\\\ 2x + 4y = 6. \end{cases}
O conteúdo aqui é a aplicação da Regra de Cramer: calculamos primeiro o determinante dos coeficientes D e depois os determinantes dos numeradores D_x e D_y. Se D=0 e pelo menos um dos D_x,D_y\neq0, não há solução; se todos eles se anulam, há infinitas soluções.

Passo 2

Calculemos o determinante dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0.

Passo 3

Agora os determinantes dos numeradores segundo a Regra de Cramer:
D_x = \begin{vmatrix} 3 & 2\\\\ 6 & 4 \end{vmatrix} = 3\cdot4 - 2\cdot6 = 12 - 12 = 0,
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 1\cdot6 - 3\cdot2 = 6 - 6 = 0.
Logo, D_x = D_y = 0.

Passo 4

Como D = D_x = D_y = 0, o sistema tem infinitas soluções. Podemos parametrizar por y = t. Da primeira equação
x + 2t = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3 - 2t.
Escolhendo valores para t, obtemos soluções diferentes.

Resposta

Duas soluções quaisquer são, por exemplo:
t=0: \bigl(x,y\bigr) = (3,0),
t=1: \bigl(x,y\bigr) = (1,1).

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