Dado o par de equações
x+2 y=3, 2 x+4 y=6,
(a) Mostre que o determinante dos coeficientes se anulam.
(b) Mostre que os determinantes do numerador (Equação (3.18)) também se anulam.
(c) Ache ao menos duas soluções.

Passo 1

Temos o sistema linear em duas variáveis
x + 2y = 3, 2x + 4y = 6
O conteúdo aqui é a aplicação da Regra de Cramer: calculamos primeiro o determinante dos coeficientes D e depois os determinantes dos numeradores Dx e Dy. Se D=0 e pelo menos um dos Dx,Dyneq0, não há solução; se todos eles se anulam, há infinitas soluções.

Passo 2

Calculemos o determinante dos coeficientes:
D = 1 & 2 2 & 4 = 1cdot4 - 2cdot2 = 4 - 4 = 0

Passo 3

Agora os determinantes dos numeradores segundo a Regra de Cramer:
Dx = 3 & 2 6 & 4 = 3cdot4 - 2cdot6 = 12 - 12 = 0,
Dy = 1 & 3 2 & 6 = 1cdot6 - 3cdot2 = 6 - 6 = 0
Logo, Dx = Dy = 0.

Passo 4

Como D = Dx = Dy = 0, o sistema tem infinitas soluções. Podemos parametrizar por y = t. Da primeira equação
x + 2t = 3 Longrightarrow x = 3 - 2t
Escolhendo valores para t, obtemos soluções diferentes.

Resposta

Duas soluções quaisquer são, por exemplo:
t=0: l(x,yr) = (3,0),
t=1: l(x,yr) = (1,1).

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