Resolva o seguinte conjunto de equações lineares simultâneas. Os resultados devem ter cinco casas decimais.
\begin{aligned} 1,0 x_{1}+0,9 x_{2}+0,8 x_{3}+0,4 x_{4}+0,1 x_{5} & =1,0 \\\\ 0,9 x_{1}+1,0 x_{2}+0,8 x_{3}+0,5 x_{4}+0,2 x_{5}+0,1 x_{6} & =0,9 \\\\ 0,8 x_{1}+0,8 x_{2}+1,0 x_{3}+0,7 x_{4}+0,4 x_{5}+0,2 x_{6} & =0,8 \\\\ 0,4 x_{1}+0,5 x_{2}+0,7 x_{3}+1,0 x_{4}+0,6 x_{5}+0,3 x_{6} & =0,7 \\\\ 0,1 x_{1}+0,2 x_{2}+0,4 x_{3}+0,6 x_{4}+1,0 x_{5}+0,5 x_{6} & =0,6 \\\\ 0,1 x_{2}+0,2 x_{3}+0,3 x_{4}+0,5 x_{5}+1,0 x_{6} & =0,5 . \end{aligned}
Nota: Essas equações também podem ser resolvidas por inversão de matriz, Seção 3.2.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de seis equações lineares simultâneas com coeficientes decimais, retornando cada x_i com cinco casas decimais. O conteúdo aqui é aplicação do método de eliminação de Gauss: triangularização da matriz aumentada seguida de retro-substituição dos valores.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \,[A\mid \mathbf b] e aplicamos eliminação de Gauss. Primeiro pivô:
a_{11}=1,0.
Para i=2,\dots,5 fazemos
R_i \leftarrow R_i - a_{i1}\,R_1
zerando a primeira coluna abaixo de a_{11}.
Em seguida o pivô é
a_{22}\approx0,19,
e para i=3,\dots,6 usamos
R_i \leftarrow R_i - \frac{a_{i2}}{a_{22}}\,R_2
obtendo zeros na segunda coluna abaixo de a_{22}.

Passo 3

Continuamos a eliminação: pivô
a_{33}\approx0,32632,
para i=4,5,6 fazemos
R_i \leftarrow R_i - \frac{a_{i3}}{a_{33}}\,R_3,
eliminando a coluna 3. Depois pivô
a_{44}\approx0,42105,
para i=5,6 usamos
R_i \leftarrow R_i - \frac{a_{i4}}{a_{44}}\,R_4,
zerando a quarta coluna.

Passo 4

Por fim, pivô
a_{55}\approx0,59245,
e fazemos
R_6 \leftarrow R_6 - \frac{a_{65}}{a_{55}}\,R_5,
obtendo sistema triangular superior completo. A última equação fica
a_{66}\,x_6 = b_6,\quad a_{66}\approx0,73241,\;b_6\approx0,28719.

Passo 5

Aplicamos retro-substituição a partir de baixo para cima:
x_6 = \frac{b_6}{a_{66}}\approx0,39211.
a_{55}\,x_5 + a_{56}\,x_6 = b_5 \quad\Longrightarrow\quad x_5\approx0,41054.
a_{44}\,x_4 + a_{45}\,x_5 + a_{46}\,x_6 = b_4 \quad\Longrightarrow\quad x_4\approx0,44205.
a_{33}\,x_3 + a_{34}\,x_4 + a_{35}\,x_5 + a_{36}\,x_6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_3\approx-0,96910.
a_{22}\,x_2 + a_{23}\,x_3 + a_{24}\,x_4 + a_{25}\,x_5 + a_{26}\,x_6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2\approx-0,36173.
x_1 + 0,9\,x_2 + 0,8\,x_3 + 0,4\,x_4 + 0,1\,x_5 = 1,0 \quad\Longrightarrow\quad x_1\approx1,88296.

Resposta

x_1 = 1,88296,\quad x_2 = -0,36173,\quad x_3 = -0,96910,\quad x_4 = 0,44205,\quad x_5 = 0,41054,\quad x_6 = 0,39211.

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