Resolva as equações:
log 4(x^2-4 x+3)=12

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
log4l(x^2-4x+3r)=tfrac12
e pede as soluções reais. O conteúdo é logaritmo e a técnica é usar a definição de logaritmo para transformar em forma exponencial. Antes de tudo, devemos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo
x^2-4x+3>0
Fatorando x^2-4x+3=(x-1)(x-3), obtemos
(x-1)(x-3)>0Longrightarrow x<1;ou;x>3

Passo 3

Usamos a definição de logaritmo:
log4l(x^2-4x+3r)=tfrac12 Long<=ftrightarrow x^2-4x+3=4^tfrac12=2

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática resultante:
x^2-4x+3=2 Longrightarrow x^2-4x+1=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x=4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot12 =4pmraiz122 =2pmraiz3

Passo 5

Verificamos o domínio x<1 ou x>3:
2+raiz3approx3,732>3 e 2-raiz3approx0,268<1. As duas soluções satisfazem o domínio.

Resposta

x=2+raiz3 ou x=2-raiz3

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