Resolva as equações:
log 4(4 x^2+13 x+2)=log 4(2 x+5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log4l(4x^2+13x+2r)=log4(2x+5)
O conteúdo é resolução de equações logarítmicas: quando as bases são iguais e diferentes de 1, podemos igualar os argumentos, desde que estes sejam positivos (condição de existência).

Passo 2

Impondo a condição de existência dos logaritmos, precisamos ter
4x^2+13x+2>0
e
2x+5>0

Passo 3

Como as bases dos logaritmos são iguais, igualamos os argumentos:
4x^2+13x+2 = 2x+5
Subtraindo 2x+5 de ambos os lados, obtemos
4x^2+11x - 3 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
4x^2+11x-3=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -11 pm raiz11^2 - 4cdot 4 cdot(-3)2cdot 4 = -11 pm raiz121 + 488 = -11 pm 138
Isso dá as raízes
x = -11+138 = 14 e x = -11-138 = -3

Passo 5

Verificamos agora a condição de existência para cada solução:
  • Para x = tfrac14:
    2x+5 = 2cdottfrac14 +5 = 5,5>0 e
    4x^2+13x+2 = 5,5>0.
    Logo é válido.
  • Para x = -3:
    2x+5 = 2cdot(-3)+5 = -1<0.
    Como o argumento do segundo logaritmo ficaria negativo, descartamos x=-3.

Resposta

A única solução é x = tfrac14.

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