Resolva as equações:
log x(4 x-3)=log x(2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
logx(4x-3)=logx(2x+1).
O conteúdo envolvido é a propriedade de igualdade de logaritmos de mesma base — sabendo que logb(y) é estritamente monotônica quando b>0 e bneq1. Precisamos então (i) determinar o domínio onde os logaritmos existem e (ii) usar a bijetividade da função logarítmica para igualar os argumentos.

Passo 2

Condições de existência dos logaritmos:
  1. Base positiva e diferente de 1: x>0, xneq1
  2. Argumentos positivos: 4x-3>0Longrightarrow x>tfrac34,
2x+1>0Longrightarrow x>-tfrac12
Combinando tudo, o domínio é
x>tfrac34, xneq1

Passo 3

Como logx(y) é estritamente monotônica em x>0, xneq1, da igualdade
logx(4x-3)=logx(2x+1)
vem
4x-3=2x+1
Resolvendo:
4x-2x=1+3 Longrightarrow 2x=4 Longrightarrow x=2

Passo 4

Verificamos se x=2 está no domínio: como 2>tfrac34 e 2neq1, a solução é válida.

Resposta

A única solução é x=2.

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